第一章 · 全等三角形
形状大小相同对应边相等对应角相等SSS/SAS/ASA/AASHL(直角)
一、图形的全等
- 两个图形形状相同、大小相等，把其中一个图形经过平移、旋转、翻折后能与另一个完全重合，就说这两个图形全等。
- 全等图形的形状和大小完全相同（只是位置可能不同）。
二、全等三角形
- 定义：能完全重合的两个三角形叫全等三角形。
- 记法：△ABC ≌ △A′B′C′，"≌"读"全等于"。顶点顺序对应：A↔A′、B↔B′、C↔C′。
- 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等（由此推得周长、面积、对应高/中线/角平分线都相等）。
- 找对应边/角的方法：① 公共边、公共角是对应边/角；② 最长边对最长边、最大角对最大角；③ 对应顶点所对边是对应边。
三、三角形全等的判定
| 简写 | 名称 | 条件（已知） | 注意 |
|---|---|---|---|
| SSS | 边边边 | 三边对应相等 | 最基本 |
| SAS | 边角边 | 两边及其夹角相等 | 必须是夹角！ |
| ASA | 角边角 | 两角及其夹边相等 | 夹边 |
| AAS | 角角边 | 两角及一角的对边相等 | 非夹边也行 |
| HL | 斜边直角边 | 直角△：斜边+一条直角边相等 | 仅用于直角三角形 |
- 不能判定全等：AAA（三角相等只能相似）、SSA（两边及非夹角，一般不行）。
四、角平分线的性质
- 角平分线上的点到角两边的距离相等。
- 到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
⚠️ 易错：
① SAS 的"角"必须是两边的夹角，写成 SSA 不能判全等；
② 写"≌"时字母要对应写，△ABC≌△DEF 表示 A 对 D；
③ 公共边、对顶角本身就是对应边、对应角，常用来凑条件；
④ 证明题要"三步走"：① 找已知相等的边/角；② 选判定方法；③ 写结论。
典型例题
1. 如图，AB=AC，AD 平分∠BAC，则 △ABD ≌ △ACD（SAS：AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD）。
2. 已知 ∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则 △ABC ≌ △DEF（AAS）。
3. 直角三角形两直角边 6、8，则斜边 10；用 HL 可证与另一斜边长 10、直边长 6 的直角△全等。
看解题要点
先用已知（公共边/对顶角/平行得角等）凑齐判定所需条件；判定只认 SSS/SAS/ASA/AAS/HL 五种。
演示 1 · 拖一拖，判全等（SSS / SAS / ASA / AAS / HL）
左边蓝三角形是标准形，右边橙三角形顶点能拖。选一种判定方法，看右边是否满足——满足时两个三角形就"全等（≌）"，点「完全重合」可把它们叠在一起验证。
判定：SSS ｜ 结论：拖动右边顶点试试看～
第二章 · 轴对称图形
对称轴对称点连线被垂直平分中垂线角平分线等腰 三线合一
一、轴对称与轴对称图形
- 轴对称：两个图形沿一条直线对折后能完全重合，叫轴对称，这条直线是对称轴。
- 轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就是轴对称图形（如等腰三角形、正方形、圆）。
- 性质：① 对称点的连线被对称轴垂直平分；② 对应线段相等、对应角相等。
二、线段、角的轴对称性
- 线段是轴对称图形，有 2 条对称轴：线段所在直线、线段的垂直平分线（中垂线）。中垂线上的点到线段两端距离相等。
- 角是轴对称图形，对称轴是角平分线。角平分线上的点到角两边距离相等。
三、等腰三角形
- 定义：有两边相等的三角形（相等的两边叫腰，另一边叫底边）。
- 性质：① 两腰相等；② 两底角相等（等边对等角）；③ 三线合一：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
- 判定：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
四、等边三角形
- 三边都相等；三个内角都是 60°。
- 具有等腰三角形的一切性质；三条对称轴（每条边上的高/中线/角平分线所在直线）。
五、直角三角形性质
- 斜边上的中线等于斜边的一半。
- 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
⚠️ 易错：
① "三线合一"只适用于等腰三角形（含等边），且只对顶角、底边那一处成立；
② 轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形的关系；
③ 角的对称轴是直线（角平分线所在直线），不是射线；
④ 等腰三角形"等边对等角"要找准底角（两底角相等，不是与顶角等）。
典型例题
1. 等腰三角形顶角 80°，则底角 = (180°−80°)÷2 = 50°。
2. 等腰三角形一边长 5、一边长 8，则周长 = 18 或 21（腰 5 底 8 或腰 8 底 5，均满足三边关系）。
3. 直角三角形斜边 10，斜边上中线 = 5。
看解题要点
等腰"分类讨论"：没说哪条是腰，要分两种情况并检验是否构成三角形；顶角+2×底角=180°。
演示 2 · 等腰三角形"三线合一"
拖动顶点 A 上下移动（底边 BC 固定、AB=AC 自动保持），看：两腰相等、两底角相等，从 A 向底边作的高/中线/角平分线三条线重合成一条。
∠B = ∠C = — ｜ 三线合一：高=中线=角平分线（同一根线）
演示 3 · 轴对称图形与对称点
虚线是一面"镜子"（对称轴）。点「显示对称图形」看原图关于镜子的像，对称点用虚线连起——连线总被对称轴垂直平分。
对称轴垂直平分每一对对称点的连线（对称点"等距、连线垂直"）。
第三章 · 勾股定理
a²+b²=c²勾三股四弦五面积法证明逆定理 直角三角形勾股数
一、直角三角形三边关系
- 直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方：a² + b² = c²（c 为斜边）。
- 文字：勾² + 股² = 弦²。"勾三股四弦五"是最有名的一组（3²+4²=5²）。
二、勾股定理（证明：面积法）
- 赵爽弦图：四个全等的直角三角形围成大正方形，中间留一个小正方形，面积关系推出 a²+b²=c²。
- 常用证法还有"毕达哥拉斯拼图"（两个大正方形拼法不同、面积相等）。
三、勾股定理的逆定理
- 如果三角形三边满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形（c 所对角是直角）。
- 常用于"已知三边判断是不是直角三角形"。
- 勾股数：满足 a²+b²=c² 的正整数组，如 (3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25)。
四、实际应用
- 求最短路径（展开立体图形再连线）、求旗杆/河宽高度、判断直角。
- 例：梯子长 2.5m 靠墙，底端离墙 1.5m，则墙上高度 = √(2.5²−1.5²) = 2 m。
⚠️ 易错：
① 必须在直角三角形中才用 a²+b²=c²，c 永远是斜边；
② 计算时别漏平方：a²+b²=c²，不是 a+b=c；
③ 逆定理用来"判定直角"，原定理用来"求边长"，方向相反；
④ 最短路径题要先展开再求两点直线距离。
典型例题
1. 直角△两直角边 6、8，斜边 = √(6²+8²)=√100 = 10。
2. 三边 5、12、13：5²+12²=169=13² → 是直角三角形。
3. 圆柱高 12、底面周长 16，侧面上 A 到 B(顶端对面) 最短 = √(12²+8²)=√208≈14.4（半个周长=8）。
看解题要点
套公式前先确认直角与斜边；逆定理用"最长边的平方 是否等于 另两边平方和"判定。
演示 4 · 拖动点，验证 a² + b² = c²
拖动直角顶点，改变两直角边 a、b，斜边 c 自动算出。下方三个正方形面积分别标出，看 a² + b² 永远 = c²。
a² + b² = c²：—
第四章 · 实数
平方根 √算术平方根立方根 ³√有理数+无理数数轴表示
一、平方根
- 若 x² = a（a≥0），则 x 叫 a 的平方根，记作 ±√a。
- 算术平方根：正的平方根，记作 √a（a≥0，√a≥0）。0 的算术平方根是 0；负数没有平方根。
- 性质：(√a)² = a；√(a²) = |a|。
二、立方根
- 若 x³ = a，则 x 叫 a 的立方根，记作 ³√a。
- 任何实数都有唯一立方根；立方根符号与被开方数相同（正数正、负数负、0 为 0）。
三、实数
- 无理数：无限不循环小数（如 √2、π、0.1010010001…）。
- 实数 = 有理数（整数、分数、有限小数、循环小数）+ 无理数。实数与数轴上的点一一对应。
- 实数的相反数、绝对值、运算与有理数相同：|a| 当 a≥0 为 a，a<0 为 −a。
四、近似数
- 四舍五入；精确到某位 / 保留 n 位小数 / 保留 n 位有效数字。
- 例：√2 ≈ 1.414（精确到千分位）；π ≈ 3.14。
⚠️ 易错：
① 负数没有平方根，但有立方根（如 ³√(−8)=−2）；
② √a² = |a|，不是 a（当 a 为负时要变号）；
③ 带根号的数不一定是无理数：√4=2 是有理数、³√(−8)=−2 是有理数；
④ 无理数不能写成两个整数之比（分数），√2 不是 1.414 那样的有尽小数。
典型例题
1. 16 的平方根是 ±4，算术平方根是 4（注意区分"平方根"和"算术平方根"）。
2. ³√(−27) = −3；√9 = 3（√9 指算术平方根）。
3. 下列各数中是无理数的是 √2、π；√4、0.3̅ 是有理数。
看解题要点
先判断符号与是否开方尽；"平方根"有两值，"算术平方根"只取非负那一个。
演示 5 · √2 在数轴上怎么"画"出来
单位正方形对角线长 = √2。用"圆规"以原点为圆心、√2 为半径画弧，正好落在数轴上 √2 的位置。点「播放」看构造过程。
边长为 1 的正方形，对角线 = √(1²+1²) = √2
第五章 · 平面直角坐标系
x轴 y轴 原点四个象限坐标 (x,y)对称变换平移
一、平面直角坐标系
- 两条互相垂直的数轴：水平 x 轴（横轴，向右正），竖直 y 轴（纵轴，向上正），交点叫原点 O。
- 平面内一点 P 用有序数对 (x, y) 表示，x 是横坐标、y 是纵坐标。
- 象限：去掉坐标轴分四块，逆时针为一、二、三、四象限；坐标轴上的点不属于任何象限。
二、坐标的符号规律
| 位置 | 第一象限 | 第二 | 第三 | 第四 | x轴 | y轴 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 坐标 | (+,+) | (−,+) | (−,−) | (+,−) | (x,0) | (0,y) |
- 点到 x 轴距离 = |y|，到 y 轴距离 = |x|。
三、图形与坐标变换
- 关于 x 轴对称：(x,y) → (x,−y)（横不变、纵变号）。
- 关于 y 轴对称：(x,y) → (−x,y)（纵不变、横变号）。
- 关于原点对称：(x,y) → (−x,−y)（都变号）。
- 平移：向右 a：(x+a,y)；向上 b：(x,y+b)。
⚠️ 易错：
① 坐标有顺序：(2,3) ≠ (3,2)；
② 坐标轴上的点不在任何象限（如 (5,0)、(0,−3)）；
③ 关于 x 轴"横不变纵变号"，别记反；
④ "距离"是绝对值：到 x 轴距离=|y|，不是 y。
典型例题
1. 点 P(3,−2) 在第 四 象限；到 x 轴距离 2，到 y 轴距离 3。
2. 点 A(2,5) 关于 y 轴对称点是 (−2,5)；关于原点对称是 (−2,−5)。
3. 点 (1,2) 先右移 3、再上移 1 → (4,3)。
看解题要点
判断象限看 (x,y) 正负号；对称变换记住"关于谁，谁不变"。
演示 6 · 拖动点，读坐标 + 看对称
拖动蓝点在网格里移动，实时读出它的坐标和所在象限。点按钮让它"跳"到关于 x轴 / y轴 / 原点的对称点。
坐标：( — , — ) ｜ 象限：—
第六章 · 一次函数
常量 变量函数 y随xy=kx+bk定增减b定截距
一、函数
- 常量：过程中不变的量；变量：变化的量（x 自变量、y 因变量）。
- 函数：在某变化过程中，有两个变量 x、y，若 x 每取一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，则 y 是 x 的函数。
- 函数三种表示：解析式、表格、图像。
二、一次函数
- 一般形式 y = kx + b（k、b 为常数，k ≠ 0）。
- 当 b = 0 时，y = kx 叫正比例函数（特殊的一次函数）。
三、一次函数的图像与性质
- 图像是一条直线；两点法画图（通常取与两轴交点）。
- k 决定增减性：k>0，y 随 x 增大而增大（上升）；k<0，y 随 x 增大而减小（下降）。
- b 决定与 y 轴交点：(0, b)。与 x 轴交点：(−b/k, 0)。
四、待定系数法
- 已知图像过两点，设 y=kx+b，代入坐标列方程组，解出 k、b 得解析式。
- 一次函数与方程、不等式：y=kx+b 中 y=0 即对应方程；y>0 即对应不等式解集。
⚠️ 易错：
① 一次函数要求 k ≠ 0；b 可以为 0（此时是正比例）；
② k 的正负决定增减，不是 b；
③ "y 随 x 增大而增大" ⇔ k>0；
④ 图像与 y 轴交点只看 b，与 x 轴交点是令 y=0 求得。
典型例题
1. y=(m−2)x+3 是一次函数 ⇒ m≠2；是正比例 ⇒ m≠2 且 3=0（不可能，故不能是正比例）。
2. y=−2x+4：k<0 故 y 随 x 增大而减小；与 y 轴交于 (0,4)，与 x 轴交于 (2,0)。
3. 过 (0,1)、(2,5) 的一次函数：设 y=kx+b ⇒ b=1, 2k+1=5 ⇒ k=2 ⇒ y=2x+1。
看解题要点
待定系数法代入两点列方程；图像走势看 k 正负，截距看 b。
演示 7 · 调一调 k、b，看直线怎么变
拖动滑块改变 k（斜率）和 b（截距），直线实时变化。看它经过哪些象限、是上升还是下降、与两轴交点在哪。
y = — ｜ 增减性：— ｜ 经过象限：—
第七章 · 数据的收集、整理、描述
普查 抽样总体 样本频数 频率直方图条形/折线/扇形
一、调查方式
- 普查：考察全体对象（如人口普查）。优点准确，缺点是工作量大、有时有破坏性。
- 抽样调查：从总体中抽取样本考察。相关概念：总体（全体）、个体（每个对象）、样本（抽出部分）、样本容量（样本中个体数目，无单位）。
- 抽样要具有代表性和广泛性。
二、频数分布
- 频数：某个数据出现的次数；频率 = 频数 ÷ 总数（频率之和=1）。
- 组距与组数：把数据分段，每段叫一组。画频数分布直方图：横轴是分组、纵轴是频数，矩形宽=组距、高=频数，各矩形相连无空隙。
三、数据的表示
| 统计图 | 特点 / 用途 |
|---|---|
| 条形图 | 直观比较各项目数量多少 |
| 折线图 | 显示数据变化趋势（增减） |
| 扇形图 | 显示各部分占总体百分比 |
| 直方图 | 显示数据在各区间的分布（频数） |
四、集中趋势
- 平均数：总和÷个数；中位数：排序后中间位置的数；众数：出现次数最多的数。
⚠️ 易错：
① 样本容量是个数，不带单位；
② 直方图矩形相连（无空隙），条形图矩形分开；
③ 扇形图用百分比，各扇形圆心角=360°×百分比；
④ 平均数受极端值影响大，中位数不受。
典型例题
1. 了解全班视力，适合普查；了解全市中学生视力，适合抽样调查。
2. 数据 1,2,2,3,4：平均数=2.4，中位数=2，众数=2。
3. 频率=频数÷样本容量；某组频数 8、总数 40，则频率=0.2。
看解题要点
先判断调查方式；直方图与条形图别混；扇形看百分比。
演示 8 · 画一张频数分布直方图
下面是 50 名同学的身高（cm）抽样数据。点「统计并画图」，自动分组、数出每组的频数，画出直方图——一眼看出大多数同学落在哪个身高段。
组距 5cm，从 145 起分组 ｜ 点上面按钮看分布
🏆 期末闯关 · 七章混合 14 题
点选项立即判对错，做完点「看成绩」算总分与等级。可反复刷！